Valor
absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea
este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor
absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Gráfica de la función valor absoluto.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor
absoluto o módulo de
todo número real está
definido por:2
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre
será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de
un número real es
siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En
general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la
distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función
distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una
generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real
Propiedades fundamentales
No negatividad
|
|
Desigualdad
triangular (Véase también Propiedad
aditiva)
|
Otras propiedades
(equivalente a la propiedad aditiva)
|
|
Preservación de la división
(equivalente a la propiedad multiplicativa)
|
Otras dos útiles inecuaciones son:
·
·
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución
de inecuaciones, como por ejemplo:
El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto
es
un espacio
de Banach
Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto de un número complejo es
la distancia desde
al
origen. Aquí vemos que y
su conjugado
tienen
el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la
generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente
identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el
valor absoluto:
De esta manera, dado cualquier número complejo de la
forma
con x e y números reales, el valor
absoluto o módulo de z está
definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de
los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también
de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del
valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema
de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde
a la distancia en el plano complejo de ese número hasta
el origen,
y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números
complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las
propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
y
es el conjugado
de z,
entonces se verifica que:
Esta última fórmula es la versión compleja de la
primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos
bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un
endomorfismo del grupo
multiplicativo de los números complejos.
FUNCION EN VALOR
ABSOLUTO
Recordemos que la definición del valor
absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los
conceptos de longitud y distancia.
La función de valor
absoluto tiene por ecuación f(x)
= |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o
nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su
gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre
por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor
absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se
pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a
cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos
con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada
intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en
cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
MATERIAL
ADICIONAL
